Para poder desarrollar lo que significa concretamente la "Teoría de Conjuntos" se deben de saber todos los conceptos utilizados en este tema como lo son:
- Conjunto
- Elementos o Miembros
- Membresía
- Subconjunto
- Conjunto Universal o Universo
- Unión
- Intersección
- Conjunto Vacio
- Conjuntos Ajenos
- Complemento
- Diferencia
- Diagramas de Venn
CONJUNTO:
Grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que cualquier objeto puede ser designado con certeza si pertenece o no a una agrupación.
MIEMBROS O ELEMENTOS
Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos {a, b, c ... x, y, z}
El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las
llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos.
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:
El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:
{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }
En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:
El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.
MEMBRESIA
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas : A, B, C,...
El símbolo Î indicará que un elemento pertenece o es miembro
de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al
conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada / quedando el
símbolo como Ï .
Ejemplo:
Sea B={ a, e, i, o, u }, a Î B y c Ï B
SUBCONJUNTO
Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }
En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es
subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos
que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.
Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A.
Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë .
Note que Î se utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì
solo para conjuntos.
UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL
El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se
hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende
del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la
letra S (espacio muestral).
Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros
números naturales el conjunto queda:
U={ 1, 2, 3, 4, 5 }
Forma alternativa para indicar conjuntos de gran
importancia:
Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero)
representados por la letra N donde
N={ 1, 2, 3, .... }
Conjunto de números enteros positivos y negativos
representados por la letra Z donde
Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Conjunto de números racionales (números que se representan
como el cociente de dos números enteros {fracciones }). Estos números se
representan por una Q
Conjunto de números irracionales (números que no puedan
representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la
letra I.
Conjunto de los números reales que son los números
racionales e irracionales es decir todos, representados por R.
UNION
La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y
es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos
ó a los dos. Lo que se denota por:
A È B = { x/x Î A ó x Î B }
Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10,
11, 12 }
A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }
INTERSECCION
Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }
Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }.
A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B,
algebraicamente se escribe así:
A Ç B = { x/x Î A y x Î B }
Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están
en B.
Ejemplo:
Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s,
r, b, v, y, z }
Q Ç P={ a, b, o, r, s, y }
CONJUNTO VACIO
Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío
ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ .
Por ejemplo:
Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç B.
A Ç B= { }
El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos
entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se
puede representar como:
A Ç B=Æ
CONJUNTOS AJENOS
Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto
vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:
Si A Ç B = Æ entonces A y B son ajenos.
COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto respecto al universo U es el
conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se
representa por comprehensión como:
A'={ x Î U/x y x Ï A }
Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U
El complemento de A estará dado por:
A'= { 2, 4, 6, 8 }
DIFERENCIA
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota
por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se
representa por comprehensión como:
A - B={ x/x Î A ; X Ï B }
Ejemplo:
Sea A= { a, b, c, d } y
B= { a, b, c, g, h, i }
A - B= { d }
En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los
elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - A el
resultado es
B – A = { g, h, i }
E indica los elementos que están en B y no en A.
DIAGRAMAS DE VENN
Los diagramas de Venn que de deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.
