Permutaciones y Combinaciones

PERMUTACIONES:

Se llaman permutaciones de "n" objetos a las diferentes maneras en que se pueden ordenar estos que forman parte de un conjunto no infinito. Esto quiere decir que una permutación es un cambio de la manera en la que se disponen los elementos. ; todas las permutaciones constan de los mismos "n" elementos, pero se consideran diferentes, por el orden en que se colocan éstos. 

Para calcular el número de permutaciones que se pueden formar con los "n" objetos, se hacen las siguientes consideraciones: la elección del primer objeto se puede hacer de "n" maneras diferentes; la elección del segundo objeto se puede hacer de (n - 1) maneras diferentes,..., y la elección del "n-ésimo" objeto sólo se puede hacer de una manera. Ahora, invocando el principio fundamental del conteo se tiene: Pn = n(n-1)(n-2)...3*2*1, que nos conduce a la defi nición de factorial: 

P n=n!

Ejemplo:LIBROS. 

Si en el librero de una casa hay 15 diferentes libros, 6 de los cuales son de matemáticas, 4 son de química y 5 son de física, 

a) ¿De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en el librero?

b) ¿De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en tu librero, si los de cada materia deben quedar juntos?

a) P15 = 15! = 1,307,674,368,000 maneras

b) El considerar que los libros de cada materia deben quedar juntos implica distinguir las 3 materias como 3 objetos que se pueden permutar: el primer objeto es el grupo de libros de matemáticas, el segundo objeto es el grupo de libros de química y el tercer objeto es el grupo de libros de física. El número de maneras en que se pueden permutar estos 3 objetos es: P3 = 3! =6 

Los 6 libros de matemáticas se pueden permutar de P6 = 6! = 720 maneras; los 4 libros de química se pueden permutar de P4 = 4! = 24 maneras; y los 5 libros de física se pueden permutar de P5 = 5! = 120 maneras. Por el principio fundamental del conteo, el número total de maneras en que se pueden colocar los 15 libros en el librero, haciendo que los de cada materia queden juntos es:

P3 (P6 P4 P5) = 3! 6! 4! 5! = (6)*(720)*(24)*(120) = 12' 441,600 maneras

COMBINACIONES:

Se llaman combinaciones de "n" objetos de orden "r" a los distintos grupos que se pueden formar al escoger secuencialmente "r" objetos de entre "n" posibles, de modo cada una de las combinaciones es distinta de las demás, si difiere en uno de sus objetos por lo menos, sin importar el orden. 

Para calcular el número de combinaciones de "r" objetos que se pueden formar con los "n" objetos disponibles, se considera que, por cada combinación de "r" objetos, existen "r!" ordenaciones equivalentes de "r" objetos; en efecto, cada combinación de "r" objetos se puede permutar de "r!" maneras diferentes, generando "r!" ordenaciones. De modo que basta con dividir el número de ordenaciones de "n" objetos de orden "r", entre las permutaciones de "r" objetos para obtener las combinaciones de "n" objetos de orden "r":

Ejemplo: BARAJA INGLESA. 

¿Cuántas manos diferentes le pueden tocar a un jugador de poker?
Una mano de poker es de 5 cartas y la baraja inglesa consta de 52; por ende, en cada mano se obtiene, de una en una, la muestra de 5 cartas distintas; para efectos de conteo, a esta manera de tomar la muestra se le denomina muestreo sin reemplazamiento. La primera carta puede ser cualquiera de las 52, la segunda puede ser cualquiera de las 51 restantes,..., y la quinta, que puede ser cualquiera de las 48 que quedan. El orden en el que salen las carta no importa y evidentemente no se permite la repetición; por lo tanto, son combinaciones de 52 objetos tomados de 5 en 5.

5.C.52 = [52! / ( 5! )( 47! )]
= [( 52 )( 51 )( 50 )( 49 )( 48 )( 47! ) / ( 5 )( 4 )( 3 )( 2 )( 1 )( 47 )]
= 311 875 200 / 120
= 2 598 960